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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Angolo superiore sinistro.

* Tutti li ortogoni di lati equa[li] son la metà d'un quadrato.

Triangolo rettangolo, con;

a - c b

* O[g]ni diamitro di qualunche quadrato lo divide in 2 parte equali, com'è provato in Euclide.

Quadrati costruiti sui lati di un ortogonio isoscele, divisi in parti eguali da linee diagonali, con:

d c – e b a g f – h i

* Tutte le cose che son simili ed equali a una, sono equali e simili infra loro.

b è equale e simile al a, h fa il medesimo e similmente fa g e così l'altre con quelle alle quale son congiunte. Adunque essendo qui 8 triangoli equali al triangolo a, de' quali f g ne contiene 2 e 'l b c d e ne contiene 4 ... 1).

A destra. Semicerchio e un quarto di corona circolare, con:

a – c f – g – i h – S e – n – b 2)

* a mezza porzione è pari al h i intera porzione, f c g b congiunta con a. Io leverò a del suo sito e renderò al f c g la medesima valuta del a colla porzione h i, e così arò f c g h i quadrato equale al a f c g non quadrato. Resta adunque il quadrato f c g h i equale al curvilinio a c f, più g i, il quale 10 porrò di sotto al f c h nel sito S n e così...

Figura centrale, con:

c - b - S r o – m t u a n – x

Sofistico.

Se mi dai una superfizie di lati curvi equale alla metà della porzione b c, i' la leverò d'esso b c e porrolla nel sito e p, e così potrò far sanza aiuto di prestare.

A sinistra.

* Io leverò la corda a b e la porrò nella linia indefinita n m e colla prima del primo troverrò 11 centro c, sopra il quale farò 1/4 di cerchio a d b e farò il rettangulo a c b che prova a d b essere 1/4 di cerchio, perché li semidiamitri a c e b c sono infra loro equali.

* Io tolgo fori della falcata una porzione e 1/2, cioè c b o, che vol dire 3 delle minori di dentro in o r S t. Di poi le tendo di dentro in o r S t, e così ho quadrato una parte della falcata che si scopre fori della porzione principale, cioè o b r c S t, che tutta è rettilinia, e restami la falcata piccola nella punta della falcata maggiore, ch'è equale a una porzion minore a lei congiunta, com'è provato, la quale in sé è impossibile a quadrare. Ma perché u t x superfizie rettilinia è equale a essa falcata, gittando via tutta la porzione grande e altrettanto della superfizie a t b c, adunque, poiché 'l triangolo u t x è in sé rettilinio e quadrabile 3) ed è equale a tutta la falcata, io trarrò di lui la parte quadrabile della falcata o b r c S t e resterà d'esso triangolo u t x una particula equale alla punta della falcata maggiore, la quale restò fori.

* Ma la fallace è che tal punta di falcata è renduta in una delle minori porzioni, perché, se tu togli di sopra alla falcata solamente la porzione b c, alla restaurazion della falcata basta le porzioni r S t, poi la terza porzione o r si rimette in loco della punta della falcata.

Figura analoga, con:

Nota questo di cerchi dupli. Qui la falcata non si quadra da sé, perché non ha pago di ripigliar di sotto quel che l'è tolto di sopra, ma riman quadrata col triangolo n. Ma se tu rubi prima ovver aggiugni di sotto e rendi la valuta di sopra e t'avanza de la periffa di sopra, e' sarà bona opera.

Dammi una superfizie equale alla metà d'una porzione.

A destra, porzione divisa, con:

b – a

* Dammi a pari al b e ancora dividimi la porzione a b in parte note sempre in porzioni o in paralelli simili al a.

Upper left corner.

* All right-angled [triangles] of equal sides are half of a square.

Right triangle, with:

a – c b

* Every diagonal of any square divides it into 2 equal parts, as is proved in Euclid.

Squares built on the sides of an isosceles right triangle, divided into equal parts by diagonal lines, with:

d c – e b a g f – h i

* All things that are similar and equal to one thing are equal and similar among themselves.

b is equal and similar to a, h does the same, and likewise g, and so the others with those to which they are joined. Therefore, since here there are 8 triangles equal to triangle a, of which f g contains 2 and b c d e contains 4 ...

On the right. Semicircle and a quarter of a circular ring, with:

a – c f – g – i h – S e – n – b

* the half portion is equal to the whole portion h i, f c g b joined with a. I will remove a from its place and give to f c g the same value as a together with the portion h i, and so I shall have f c g h i as a square equal to the non-square a f c g. There remains, therefore, the square f c g h i equal to the curvilinear a c f, plus g i, which I will place beneath f c h at the site S n, and so ...

Central figure, with:

c – b – S r o – m t u a n – x

Sophistical.

If you give me a surface with curved sides equal to half of the portion b c, I will remove it from that b c and place it at the position e p, and thus I shall be able to do it without the help of borrowing.

On the left.

* I will take the chord a b and place it on the indefinite line n m, and by the first [proposition] of the first [book] I will find the centre c, upon which I will make a quarter-circle a d b, and I will make the right angle a c b, which proves a d b to be a quarter-circle, because the semidiameters a c and b c are equal to each other.

* I take out of the lune one portion and a half, that is c b o, which means 3 of the smaller [portions] inside at o r S t. Then I lay them inside at o r S t, and thus I have squared a part of the lune that is exposed outside the principal portion, namely o b r c S t, which is entirely rectilinear; and there remains to me the little lune at the tip of the greater lune, which is equal to a smaller portion joined to it, as has been proved, and which in itself is impossible to square. But because the rectilinear surface u t x is equal to that lune — discarding the whole large portion and as much of the surface a t b c — therefore, since the triangle u t x is in itself rectilinear and squarable and is equal to the whole lune, I will subtract from it the squarable part of the lune o b r c S t, and there will remain of that triangle u t x a small particle equal to the tip of the greater lune, which was left outside.

* But the fallacy is that this tip of the lune is rendered into one of the smaller portions, because, if you take from the top of the lune only the portion b c, the portions r S t suffice to restore the lune, and then the third portion o r is put back in place of the tip of the lune.

Analogous figure, with:

Note this concerning double circles. Here the lune does not square itself, because it is not content to take back below what is removed from it above, but it remains squared by means of the triangle n. But if you first steal, or else add, below, and restore the value above, and the outer rim above is left over for you, it will be good work.

Give me a surface equal to half of a portion.

On the right, a divided portion, with:

b – a

* Give me a equal to b, and also divide for me the portion a b into known parts, always into portions or into parallels similar to a.

Quadrature of Lunes and Curvilinear Figures

Geometric proofs on squaring circular segments, sectors and right triangles, citing Euclid

Geometry

The sheet is filled with geometric constructions and proofs concerned with the quadrature of curved figures — lunes ('falcate'), circular segments, sectors and quarter-rings — alongside propositions on right triangles and squares. Leonardo cites Euclid for the proposition that a diagonal divides a square into two equal parts, and works through several attempts to convert curvilinear areas into equivalent rectilinear, squarable ones, labelling one line of reasoning 'sophistical' and another 'fallacious'. Diagrams of a semicircle, a quarter-ring, triangles with lettered vertices and paired circles accompany the notes.

Taking the chord a b onto an indefinite line to find the centre c, he builds a quarter-circle a d b and the right angle a c b. He then removes a portion and a half from the lune (c b o) and rearranges the pieces o r S t so that part of the lune becomes the rectilinear figure o b r c S t, leaving a small lune at the tip that is in itself impossible to square.

Double circles: a lune that will not square itself

Note this concerning double circles: here the lune does not square itself, because it is not content to take back below what is removed above, but remains squared by means of the triangle n. If instead you first steal or add below and restore the value above, leaving the outer rim, it will be good work.

Give me a equal to b: dividing a segment

Give me a equal to b, and divide the portion a b into known parts, always into portions or into parallels similar to a. The small figure is lettered b – a.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.