Squaring lunes: geometrical versus mechanical quadrature

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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Colonna destra.

* Quadratura che si prova colla mente, è geometrica e quella che si trova colla pratica, è meccanica.

Porzione suddivisa colle lettere:

c a - b e - d

* Le periffe delle porzioni che saran capace della valuta delle minor porzioni che si to[l]gan dalla minore e rendano alla maggiore, sempre fien quadrabile.

* Se torrai via le 2 porzioni di fori alla falcata e rendera'li le 4 minori di dentro, tu [t]roverai che n'entra 3 di dentro e una ne va di fori, e le 3 di dentro fanno la falcata quadrabile, lasciando stare quella di fori. Di poi tu trovi la valuta del [di] dentro e del di fuori nel triangolo b d. Ora trai d'esso triangolo b d la falcata quadrabile men la porzione di fori e quel che resta del b d, fia simile alla porzione che resta di fori; e così arai fatto una porzione quadrabile, la quale è quella che resta di fuori.

Colonna sinistra.

La porzione e b vale la mezza porzione a e, perché li cerchi donde diriva l'una e l'altra, son doppi l'uno all'altro. Adunque le porzioni fatte de' quarti de' lor cerchi, sono doppie l'una all'altra, onde la metà della maggiore è pari a tutta la minore. Seguita che, tolto via la parte e all'una e all'altra, resta la falcata a della valuta del b. Ora io voglio quadrare la falcata a e leverolle le sue due porzione, le quali vagliano per le 4 della porzione di sotto. Adunque levando esse due porzioni e rendendole le 4 porzioni di sotto, essa falcata resta della prima sua valuta, ma perché e' non v'è nell'arco concavo di tale falcata spazio dove tutte 4 le dette porzioni si possino applicare, io presterrò a essa falcata la superfizie c, la quale conterrà in sé il rimanente delle 4 dette porzioni, e così la falcata a, che era equale al b, è cresciuta tutta la parte c, e per c supera la parte b, e per questo io crescerò il b alla valuta del a c, e perché al b li è stato levato una porzione e 1/4, o circa, la quale s'è incorporata con c e hallo fatto quadrabile, io piglierò la valuta d'esso quadrato di c e metterolla di sotto congiunta con b, che sarà poi b d equale al a c quadrabile. E così lo provo: se la falca[ta] a vale quanto b e che io aggiunga a esso a la superfizie c con una porzione e 1/4, b resta minore d'essa falcata tutta la parte aggiunta del c e oltre a di questo l'è tolto una porzione e 1/4. Adunque quando le saran rendute esse porzioni, ella resterà come prima equale al a e se le sarà poi aggiunto la superfizie c, esso b si farà della valuta del a c. Adunque contenendo d la valuta d'una porzione e 1/4 insieme colla superfizie c, b d superfizie quadrabile è pari al a c quadrabile e ancora lo a c, quand'era contenuta da 2 linie curve.

Right column.

* A squaring that is proved with the mind is geometrical, and that which is found with practice is mechanical.

Portion subdivided with the letters:

c a - b e - d

* The peripheries of the portions that will be capable of the value of the lesser portions which are taken from the smaller and returned to the greater will always be squarable.

* If you take away the 2 outer portions from the lune (falcata) and return to it the 4 smaller inner ones, you will find that 3 of the inner ones go in and one goes out, and the 3 inner ones make the lune squarable, leaving aside the one outside. Then you find the value of the inside and of the outside in the triangle b d. Now draw from that triangle b d the squarable lune less the outer portion, and what remains of the b d will be like the portion that remains outside; and so you will have made a squarable portion, which is the one that remains outside.

Left column.

The portion e b is worth the half portion a e, because the circles from which the one and the other derive are double one to the other. Thus the portions made from the quarters of their circles are double one to the other, whence the half of the greater is equal to the whole of the smaller. It follows that, the part e being taken away from both, there remains the lune a of the value of the b. Now I wish to square the lune a, and I will take from it its two portions, which are worth the 4 of the portion below. Thus, taking away these two portions and returning to it the 4 portions below, that lune remains of its first value; but because there is not in the concave arc of such a lune space where all 4 of the said portions can be applied, I will lend to that lune the surface c, which will contain in itself the remainder of the 4 said portions, and so the lune a, which was equal to the b, is increased by the whole part c, and by c it exceeds the part b; and for this I will increase the b to the value of a c; and because from the b there has been taken a portion and 1/4, or thereabouts, which has been incorporated with c and has made it squarable, I will take the value of that square of c and will put it below joined with b, which will then be b d equal to the a c squarable. And thus I prove it: if the lune a is worth as much as b, and I add to that a the surface c with a portion and 1/4, b remains smaller than that lune by the whole part added of the c, and beyond this there is taken from it a portion and 1/4. Thus when these portions shall be returned to it, it will remain as before equal to the a; and if there be then added to it the surface c, that b will become of the value of the a c. Thus, d containing the value of a portion and 1/4 together with the surface c, the squarable surface b d is equal to the a c squarable, and also to the a c when it was contained by 2 curved lines.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.

Colonna destra.

Porzione suddivisa colle lettere:

Colonna sinistra.

Right column.

Portion subdivided with the letters:

Left column.

Squaring lunes: geometrical versus mechanical quadrature

On this page

Geometrical quadrature of the mind versus mechanical of practice

Making a squarable portion by exchanging inner and outer parts

Squaring lune a by lending it the surface c