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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

(a) Del punto. Nel margine.

* Termine.
* Contatto.
* Termine.
* Seperazione.
* Contatto.
* Congiunzione.
* Prima - Termine.
* Seconda. - Seperazione.
* Terza. - Contatto.
* Quarta. - Congiunzione.
* Quinta. - Unizione.
* Il moto traversal della linia non è parte della superfizie da essa descripta.
* Nessun termine è parte della cosa terminata.
* Né la seperazione è parte della cosa seperata.
* Né 'l contatto è parte delle cose, che infra lor si toccano.
* Il moto del punto descrive una linia composta di tanti punti, quanto son le mutazion de' siti fatte dal moto del punto.
* Il punto è in sito sanza occupazion di sito.
Il nulla è mancamento dell'essere ovver della cosa.
Il punto è termine dell'essere ovver della cosa.
* El moto del punto non è parte della linia da lui descripta.

Colonna principale.

** Prima1 - Dice l'avversario: o el punto è in sito o e' non è in sito. - Seconda. E s'egli è in sito, egli è in essere. - Terza. E se non è in sito, e' non si dà in natura. - Quarta. E se 'l punto si dà in natura, o egli è uno o e' son molti. - Quinta. E s'elli è uno solo, o egli è mobile o egli è immobile. - Sesta. E s'egli è mobile, il moto descrive una linia composta di tanti punti, quante son le mutazion de' siti fatte dal punto.
Adunque essendo il sito occupato dal punto equale a esso punto, è la linia composta de' siti lasciati dal moto del punto, la continovazion de' quali compongano tal linia. - Settimo. E se son più punti e lo giunto di due punti in sé è divisibile in due parte le quale son due punti, adunque il pun[to] è parte, e questo è contro alla difinizion del punto.
Rispondesi alla prima, che il punto è in sito sanza occupazion di sito; alla seconda, che il punto si dà in natura; la terza², che li punti sono infiniti; quarta, che il punto è mobile insieme col sito dov'elli risiede; quinta, che 'l moto del punto descrive la linia insensibile, la quale in sé è divisibile in infinito, e li punti son du[e].
Dice l'avversario che il congiunto di due punti è in sé divisibile con una sola divisione, colla qual si risepera li 2 uniti punti.
Risposta. Li due punti insieme uniti non fanno linia divisibile, ma sol nome che con nome si divide, perché li due punti concludan linia infra loro.
Infra 'l nulla e la cosa è infinita proporzione, perché nessuna cosa è minore del nulla, e la cosa in sé è divisibile in infinito.
Il punto non ha mezzo e li sua termini è il contatto delle fronti di due linie.
Il punto non ha mezzo e li sua termini è il nulla.
Linia ha mezzo in lunghezza ma non in larghezza né in profondità, e li termini della sua lunghezza son due punti. Superfizie non ha me[zzo] ...
* Il punto non ha mezzo, ma lui è esso mezzo e li sua termini ricaggiano in lui.
* Il punto è un mezzo; mezzo è sanza termini.
* Il punto non ha termine né mezzo, m[a] lui è esso mezzo e termin di se medesimo.

Triangolo e 'elica' entro un cerchio:

Fa una elica di tutto lo spazio che contiene li sette ottavi del circolo; e falli, poi li leva il conio1.

Triangolo entro cerchio, con:

Terza

Qui il minore circolo è equale al rimanente del maggiore circolo2 e 'l triangolo è equale a esso rimanente del maggiore. Seguita ch'egli è ancora equale al minore cerchio, meno la valuta della porzione maggiore. Addunque la luna e l'anulo sono infra loro equali e l'uno e l'altra vale il triangolo. Ma perché i' vorrei rendere alla lunola l'una delle due porzioni, cioè3 quella che la fa concava, egli è necessario rendere altrettanto all'anulo. La qual rendita fia di sotto nella quarta figura, cioè ben mezza porzione, la qual vale b c d porzione intera. E allungherò il triangolo in essa quarta, che fia m o c, che vale il triangolo a b c, eccetera.

Corona circolare e doppio triangolo, con:

Quarta -b –n o a m -c

a b c triangolo vale m o c triangolo.

Pentagono iscritto in un cerchio diminuito d'una porzione:

Io ho un quadrato equale alla maggior porzion d'un cerchio. Io ne leverò tutte le porzioni e resterammi una figura rettangola, la qual trarrò del triangolo e 'l rimanente d'esso triangolo fia equale alle lievate porzioni.

(b) A sinistra, settori di cerchio, con:

1 -1-2-2

Fallacia.

Parte di corona circolare e settore, con:

b -c

Corona circolare e semicerchio, con:

a - b - c

a b c sono equali.

(a) On the point. In the margin.

Boundary. Contact. Boundary. Separation. Contact. Conjunction. First: Boundary. Second: Separation. Third: Contact. Fourth: Conjunction. Fifth: Union. The transverse motion of the line is not part of the surface described by it. No boundary is part of the thing bounded. Nor is the separation part of the thing separated. Nor is the contact part of the things that touch one another. The motion of the point describes a line composed of as many points as there are changes of position made by the motion of the point. The point is in a place without occupying place. Nothing is the lack of being, or of the thing. The point is the boundary of being, or of the thing. The motion of the point is not part of the line described by it.

Main column.

First — The adversary says: either the point is in a place or it is not. Second — And if it is in a place, it is in being. Third — And if it is not in a place, it does not exist in nature. Fourth — And if the point exists in nature, either it is one or they are many. Fifth — And if it is one alone, either it is movable or immovable. Sixth — And if it is movable, its motion describes a line composed of as many points as there are changes of position made by the point. Therefore, since the place occupied by the point equals the point itself, the line is composed of the places left by the motion of the point. Seventh — And if there are several points, and the joining of two points is divisible into two parts which are two points, then the point is a part, contrary to its definition. To the first it is answered that the point is in a place without occupying place; to the second, that the point exists in nature; to the third, that points are infinite; to the fourth, that the point is movable together with the place where it resides; to the fifth, that the motion of the point describes the imperceptible line, divisible to infinity, and the points are two. The adversary says the joining of two points is divisible by a single division that separates the two united points. Answer: the two united points do not make a divisible line, but only a name divided with a name, for the two points enclose a line between them. Between nothing and the thing there is infinite proportion, because no thing is less than nothing, and the thing is divisible to infinity. The point has no middle, and its boundaries are the contact of the fronts of two lines. The point has no middle, and its boundaries are nothing. A line has a middle in length but not in breadth or depth, and the boundaries of its length are two points. A surface has no mi[ddle]... The point has no middle, but it is itself the middle, and its boundaries fall back into it. The point is a middle; a middle is without boundaries. The point has neither boundary nor middle, but it is itself the middle and boundary of itself.

Triangle and 'helix' within a circle:

Make a helix (spiral) of all the space that contains the seven eighths of the circle; make them, then remove the wedge from them.

Triangle within a circle, with:

Third. Here the smaller circle is equal to the remainder of the larger circle, and the triangle is equal to that remainder of the larger. It follows that it is also equal to the smaller circle, less the value of the larger portion. Therefore the lune and the ring are equal to each other, and each is worth the triangle. But because I should like to give back to the little lune one of the two portions, namely the one that makes it concave, it is necessary to give back as much to the ring. This restitution will be below in the fourth figure, namely a good half portion, worth the whole portion b c d. And I shall extend the triangle in that fourth figure, which will be m o c, worth the triangle a b c, and so on.

Circular ring and double triangle, with:

Fourth — b – n o a m – c. Triangle a b c is worth triangle m o c.

Pentagon inscribed in a circle diminished by a portion:

I have a square equal to the greater portion of a circle. I shall remove all the portions from it and there will remain a rectilinear figure, which I shall draw from the triangle, and the remainder of that triangle will be equal to the removed portions.

(b) On the left, sectors of a circle, with:

1 - 1 - 2 - 2. A fallacy.

Part of a circular ring and a sector, with:

b - c.

Circular ring and semicircle, with:

a - b - c. a, b, c are equal.

On the Point, and the Quadrature of Lunes

A scholastic disputation on point, nothing and void, with geometric figures squaring lunes and rings against a triangle.

Geometry

The dense main column carries a long scholastic disputation 'On the Point' (Del punto), arguing through an imagined adversary whether the point exists in nature, whether it occupies place, and how point, nothing (nulla) and line relate to one another. A marginal list defines boundary, contact, separation, conjunction and union, and asserts that the moving point describes a line. Surrounding figures treat the quadrature of lunes and rings: triangles inscribed in circles, sectors and spiral 'helices', with claims that a lune and a ring are each equal to a given triangle. One small figure is labelled simply 'Fallacia', and some faint additional sketching appears on the lower fragment.

The adversary asks whether the point is in a place or not, whether one or many, movable or immovable. The reply is that the point is in a place without occupying place, exists in nature, is infinite in number, and moves with the place where it resides; its motion describes an imperceptible line divisible to infinity. The point has no middle but is itself the middle and boundary of itself, and its boundaries are nothing.

Marginal definitions: boundary, contact, separation, union

A marginal list orders the terms boundary, contact, separation, conjunction and union. No boundary is part of the thing bounded, nor is separation or contact part of the things concerned. The motion of the point describes a line composed of as many points as there are changes of position, and that motion is not itself part of the line.

A lune and a ring each equal to a triangle

Here the smaller circle equals the remainder of the larger, and the triangle equals that remainder; hence the lune and the ring (anulo) are equal to each other and each is worth the triangle. To restore to the little lune the portion that makes it concave, as much must be restored to the ring, shown below in the fourth figure. The triangle is extended into that figure as m o c, worth the triangle a b c.

A spiral of seven eighths of the circle

The note directs making a helix (spiral) of all the space that contains the seven eighths of the circle. Once made, the wedge (conio) is then to be removed from them. It accompanies a triangle-and-spiral figure inscribed in a circle.

A sector construction marked 'Fallacia'

A group of circle sectors at the left is labelled 1 - 1 - 2 - 2 and marked simply 'Fallacia', a fallacy. Nearby figures mark parts b - c and a ring with semicircle labelled a - b - c where a, b, c are declared equal. These accompany the attempts to square lunes against rectilinear figures.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.