Squaring circular segments, crowns and lunes

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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Colonna destra. Porzione di cerchio, modificata, con:

41 - o - Sn-vt

Della porzione o n S io levo n S rettanguli e li rendo in t v. Adunque o t n vale la porzione o n S.

Parte di corona circolare, con:

Quarta -o S n -v t -p -m

Per quel ch'è detto nella penultima, rendendo m nella sua distanzia dalla periffa dello o, p n S è pari al f di sopra nella prima figura.

Semiporzione e parte di corona, con:

Quinta - o m; b -c f

Il paralello o m, che è composto della terza dimostrazione, e tanto vale ed è equale alla mezza porzione b c f della prima dimostrazione.

Parte di corona circolare:

d a – b – c - e

Quadra la falcata a b c, che è l'eccesso del paralello d b, o vo' dire l'eccesso del paralello c e, che tan[to] vale all'un come all'altro.

Colonna sinistra. Figura con:

d - e f b g a - e

Per provare la quarta qui di sopra s'allegherà questa conclusione: cioè, la retta che ha li sua stremi con equal distanzia del centro del suo circunvolubile, descrive equali settori infra 'l centro d'esso circunvolubile e la periffa fatta dal moto del suo stremo.

a c sia la retta, b sia il centro del suo circunvolubile e delli stremi a c di tale retta; a d e c e sono le lunghezze delle periffe fatte dal moto delli stremi di tale retta e sono equali infra loro. Dico adunque che per essere posto a b, parte della retta, equale al b c, rimanente d'essa retta, è l'a d, moto dello stremo, equale al c e, moto dello stremo opposito, e le periffe a d, c e essere equali infra loro. Adunque necessità costrigne: li 2 triangoli adb e 'l bce sono infra loro equali.

Se da cose equali si leva parte equale, il rimanen[te] sarà equale. Seguita che, levando la parte a d g del triangolo a d b e similmente levando f c e del triangolo b c e, che 'l rimanente d g b resta equale al rimanente b e f, e per questo è concluso il triangolo r essere equale al triangolo n, e 'l triangolo S al triangolo r. Ancora per la quarta del primo delli Elementi seguita il medesimo. Cioè dove disse: se saran 2 triangoli, de' quali el lato dell'uno sia equale al lato dell'altro e l'angolo dell'uno all'angolo dell'altro, eccetera2, seguita che tutto il triangolo sarà equale a tutto l'altro triangolo.

Due settori parzialmente sovrapposti, con:

b a — c-ef

Per quadrare la falcata a b c togli li due settori a b c e a c f li quali settori sono equali e sono nati di cerchi, che sono infra loro nella medesima proporzione, quale ...

Right-hand column. Portion of a circle, modified, with:

41 - o - Sn-vt. From the segment o n S I take away the rectangular pieces at n S and render them as t v. Therefore o t n is equal to the segment o n S.

Part of a circular crown, with:

Fourth - o S n - v t - p - m. By what is said in the penultimate proposition, rendering m at its distance from the circumference of o, p n S is equal to the f above in the first figure.

Half-portion and part of a crown, with:

Fifth - o m; b - c f. The parallelogram o m, which is composed from the third demonstration, is worth just as much and is equal to the half-segment b c f of the first demonstration.

Part of a circular crown:

d a – b – c - e. Square the lune a b c, which is the excess of the parallelogram d b, or, I mean to say, the excess of the parallelogram c e, which is worth as much for the one as for the other.

Left-hand column. Figure with:

d - e f b g a - e. To prove the fourth proposition above, this conclusion will be adduced: namely, that the straight line whose ends are at equal distance from the centre of its axis of revolution describes equal sectors between that centre and the circumference traced by the motion of its end. Let a c be the straight line, b the centre of its axis of revolution and of the ends a c of that line; a d and c e are the lengths of the arcs traced by the motion of the ends of that line, and they are equal to one another. I say therefore that, since a b, part of the line, is set equal to b c, the remainder of that line, then a d, the motion of the end, is equal to c e, the motion of the opposite end, and the arcs a d, c e are equal to one another. Therefore necessity compels that the two triangles a d b and b c e are equal to one another. If from equal things an equal part is removed, the remainder will be equal. It follows that, removing the part a d g from triangle a d b and likewise removing f c e from triangle b c e, the remainder d g b stays equal to the remainder b e f, and by this the triangle r is concluded to be equal to triangle n, and triangle S to triangle r. The same also follows by the fourth proposition of the first book of the Elements, that is, where it says: if there are two triangles of which the side of the one is equal to the side of the other and the angle of the one to the angle of the other, and so on, it follows that the whole triangle will be equal to the whole other triangle.

Two partly overlapping sectors, with:

b a — c - e f. To square the lune a b c, take the two sectors a b c and a c f, which sectors are equal and are born of circles that stand to one another in the same proportion, as ...

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.