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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Facciata destra, prima colonna a destra, prima figura:

El depennato vale le 4 massime porzioni del (massimo circolo) e 'l rimanente vale il massimo quadrato del massimo circolo.

Seconda figura e figure minori nel margine:

Il quadrato fatto dentro al circolo è subduplo al quadrato fatto for del medesimo circolo. E' circolo fatto in contatto de' 4 angoli del quadrato fia duplo al circolo ch'è in contatto de' 4 lati¹ del medesimo quadrato. Infra le superfizie simili tal proporzione aran le parte simili infra loro, qual fia la proporzione delli loro tutti.

Figura coti:

a a - b - a a

Sia dato un quadrato equale a questa superfizie. Li 4 triangoli curvilini a insieme col quadrato curvilatero b vagliano il massimo quadrato del minor circolo. Provasi, eccetera.

Seconda colonna. Cerchio diviso in quattro quadranti:

Vale il massimo quadrato del circolo subduplo.

Seconda figura:

Il massimo quadrato d'un circolo subduplo.

Terza figura:

Il massimo quadrato del minor circolo.

Quinta figura:

Massimo quadrato del circolo subduplo a questo.

Sesta figura:

Massimo quadrato di questo circolo.

Settima figura:

Massimo quadrato del circolo subduplo a questo.

Terza colonna, seconda figura:

Il massimo quadrato del massimo circolo.

Terza figura:

Massimo quadrato del massimo circolo.

Quarta figura:

Qui li 16 settori depennati vagliano le 4 massime porzioni del massimo circolo.

Quinta figura:

Vale il massimo quadrato del minor circolo.

Quarta colonna, terza figura capovolto il foglio:

Il circolo che tocca 3 angoli del triangolo è quadruplo al circolo che tocca i tre lati del medesimo triangolo.

Tal proporzione han le parte simili colle parte simili, quale ha il tutto col suo tutto.

Facciata sinistra. Prima colonna a destra, prima figura:

Vale il massimo quadrato del massimo circolo.

Gruppo di figure entro un cerchio, con:

a b

Val quel di sotto.

a vale b.

Sotto le precedenti, figura:

Vale il massimo quadrato del massimo circolo.

Più in basso, lunula entro una parte di corona circolare:

Buono.

Figura successiva, con:

a b.

ab è una delle 4 massime porzioni del massimo circolo.

Nel margine inferiore, mutilato, accanto a tre piccole figure:

Le superfizie bisanghe son di 2 sorte. Cioè, l'una composta d'un lato curvo e d'un lato retto; la seconda si compone di due lati curvi, come si dimostra nelle 2 figure. V'hanne una terza che ha li 2 angoli ...

Al centro del margine superiore, figura con 4 bisangoli:

Massimo quadrato del massimo circolo.

A matita assai sbiadita, al centro, sotto un grande cerchio e di fianco a due quadrilateri, uno dei quali colla lettera:

Dato che sia il quadrato equale allo a, e levando d'esso a la porzione c, el rimanente è quadrato(?).

Addunque desso a [è] quadrabile.

a è quadrabile, cioè equale al quadrato b; e se leverai d'esso a la sua porzione c, el rimanente

vale ... massim... e del quadrato b. Trai adunque dal quadrato b il quadrato minore; resterà ...

[Figura di rettangolo colla lettera c]

il paralello c, equale alla detta porzione.

Sotto il precedente, entro e tra due figure segnate:

a - b

Di circoli doppi l'uno all'altro.

a, dov'è superfizie paralella come b.

Sotto la figura b:

Se di superfizie quadrabile si remove superfizie quadrabile, il rimanente fia quadrabile.

Colonna lungo il lato sinistro. Settore di cerchio:

Il settore vale il massimo quadrato del massimo circolo e li due bisangoli val[go]no le 4 massime porzioni del massimo circolo.

Due figure colle lettere:

a - b

a val b perché il suo quadrato vale li 2 quadrati di b, perché il quadrato massimo è fatto sul diamitro [d]el mi[n]ore(?) ...

Figura di doppio cerchio con otto bisangoli:

Li 8 biangoli vagliano le 8 massime porzioni del massimo circolo

Right face, first column on the right, first figure:

The hatched-out region equals the four greatest portions of the (greatest circle), and the remainder equals the greatest square of the greatest circle.

Second figure and smaller figures in the margin:

The square made inside the circle is half (subduplo) the square made outside the same circle. And the circle in contact with the four corners of the square is double the circle in contact with the four sides of the same square. Among similar surfaces the similar parts will hold the same proportion to one another as the proportion of their wholes.

Marked figure:

a a - b - a a

Let a square be given equal to this surface. The four curvilinear triangles a together with the curvilinear square b equal the greatest square of the smaller circle. It is proved, etc.

Second column. Circle divided into four quadrants:

It equals the greatest square of the half-sized (subduplo) circle.

Second figure:

The greatest square of a half-sized circle.

Third figure:

The greatest square of the smaller circle.

Fifth figure:

Greatest square of the circle that is half of this one.

Sixth figure:

Greatest square of this circle.

Seventh figure:

Greatest square of the circle that is half of this one.

Third column, second figure:

The greatest square of the greatest circle.

Third figure:

Greatest square of the greatest circle.

Fourth figure:

Here the 16 hatched-out sectors equal the four greatest portions of the greatest circle.

Fifth figure:

It equals the greatest square of the smaller circle.

Fourth column, third figure, the sheet turned upside down:

The circle that touches the three corners of the triangle is quadruple the circle that touches the three sides of the same triangle.

The similar parts hold the same proportion to the similar parts as the whole holds to its whole.

Left face. First column on the right, first figure:

It equals the greatest square of the greatest circle.

Group of figures inside a circle, with:

a b

Equals the one below.

a equals b.

Beneath the preceding, figure:

It equals the greatest square of the greatest circle.

Lower down, a lune within part of a circular ring:

Good.

The following figure, with:

a b.

ab is one of the four greatest portions of the greatest circle.

In the lower margin, mutilated, beside three small figures:

Bi-angular surfaces are of two kinds. That is, one composed of a curved side and a straight side; the second is composed of two curved sides, as shown in the two figures. There is a third kind that has the two angles ...

At the centre of the upper margin, a figure with 4 bi-angles:

Greatest square of the greatest circle.

In much-faded pencil, at the centre, below a large circle and beside two quadrilaterals, one bearing the letter:

Given that the square is equal to a, and removing from a the portion c, the remainder is a square (?).

Therefore a is quadrable.

a is quadrable, that is, equal to the square b; and if you remove from a its portion c, the remainder

equals ... the greatest ... of the square b. Draw therefore from the square b the smaller square; there will remain ...

[Figure of a rectangle with the letter c]

the parallelogram c, equal to the said portion.

Below the preceding, within and between two marked figures:

a - b

Of circles double one to the other.

a, where there is a parallel surface like b.

Below the figure b:

If from a quadrable surface a quadrable surface is removed, the remainder will be quadrable.

Column along the left side. Sector of a circle:

The sector equals the greatest square of the greatest circle, and the two bi-angles equal the four greatest portions of the greatest circle.

Two figures with the letters:

a - b

a equals b because its square equals the two squares of b, because the greatest square is made on the diameter of the smaller (?) ...

Figure of a double circle with eight bi-angles:

The 8 bi-angles equal the eight greatest portions of the greatest circle.

Squaring the circle: lunes, inscribed squares and circles

A dense sheet of small compass figures comparing lunes, squares and circles

Geometry

This crowded sheet packs dozens of small compass-drawn figures — circles with inscribed and circumscribed squares, four-petalled rosettes, sectors and crescent-shaped 'lunes' (bisangoli) — each annotated with the square or circle it is declared equal to. Leonardo repeatedly states proportional relations: that a square inscribed in a circle is half the square circumscribed about it, and that the circle through a square's four corners is double the circle touching its four sides. Many notes assert that certain lunes and sectors 'equal the greatest square' of a given circle, part of his long pursuit of squaring curved figures. He generalizes that among similar surfaces the similar parts keep the same proportion to one another as their wholes do.

Facciata destra, prima colonna a destra, prima figura:

Seconda figura e figure minori nel margine:

Figura coti:

Seconda colonna. Cerchio diviso in quattro quadranti:

Seconda figura:

Terza figura:

Quinta figura:

Sesta figura:

Settima figura:

Terza colonna, seconda figura:

Terza figura:

Quarta figura:

Quinta figura:

Quarta colonna, terza figura capovolto il foglio:

Facciata sinistra. Prima colonna a destra, prima figura:

Gruppo di figure entro un cerchio, con:

Sotto le precedenti, figura:

Più in basso, lunula entro una parte di corona circolare:

Figura successiva, con:

Nel margine inferiore, mutilato, accanto a tre piccole figure:

Al centro del margine superiore, figura con 4 bisangoli:

A matita assai sbiadita, al centro, sotto un grande cerchio e di fianco a due quadrilateri, uno dei quali colla lettera:

Sotto il precedente, entro e tra due figure segnate:

Sotto la figura b:

Colonna lungo il lato sinistro. Settore di cerchio:

Due figure colle lettere:

Figura di doppio cerchio con otto bisangoli:

Right face, first column on the right, first figure:

Second figure and smaller figures in the margin:

Marked figure:

Second column. Circle divided into four quadrants:

Second figure:

Third figure:

Fifth figure:

Sixth figure:

Seventh figure:

Third column, second figure:

Third figure:

Fourth figure:

Fifth figure:

Fourth column, third figure, the sheet turned upside down:

Left face. First column on the right, first figure:

Group of figures inside a circle, with:

Beneath the preceding, figure:

Lower down, a lune within part of a circular ring:

The following figure, with:

In the lower margin, mutilated, beside three small figures:

At the centre of the upper margin, a figure with 4 bi-angles:

In much-faded pencil, at the centre, below a large circle and beside two quadrilaterals, one bearing the letter:

Below the preceding, within and between two marked figures:

Below the figure b:

Column along the left side. Sector of a circle:

Two figures with the letters:

Figure of a double circle with eight bi-angles:

On this page

Inscribed square is half the circumscribed square

Four curvilinear triangles plus a curved square equal the greatest square

Circle on a triangle's corners is quadruple the circle on its sides

Two kinds of bi-angular surface

Removing a quadrable surface leaves a quadrable one