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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Nel margine destro in alto:

Infra le superfizie laterate l'esagono è la più nobile. Ma il quadrato è la più utile, con ciò sia che tutte l'altre superfizie si riducano in esso quadrato, e però è detta superfizie regia.

Colonna destra.

La massima perfezione della divisione del circolo in parte equali è il numero senario, perché con una medesima apritura di seste si descrive il circolo e si divide la sua circunferenzia in sei parte equali, e si divide il diamitro e li sei triangoli in che si risolve li settor del medesimo circolo, e li sei triangoli equilateri in che si risolve lo esagono di tal cerchio.
Sei archi e sei corde, sei settori, sei triangoli equilateri, sei porzion di circolo son fatti con una medesima apritura di seste.
La più perfetta partizione del circolo è quella del resolvere esso circolo in sei settori equali, perché essi settori son composti d'un triangolo equilatero e d'una porzione fatta d'un lato del triangolo equilatero e del lato curvo del settor del circolo, che si congiugne col lato del predetto triangolo.

Esagono iscritto colle lettre:

b c a - f

Benché li settori de' circoli sieno infra loro infiniti 'n un solo circolo, solo quel numero è perfetto, del quale si cava sei settori equali e simili infra loro, e de' quali si cava sei triangoli e sei porzioni equali, delle quali l'arco della parte curva è fatto della sesta parte della circunferenzia e la corda di tale arco è fatta d'un de' lati del triangolo equilatero, come si vede qui in margine. Il settore predetto è composto d'una porzione di circolo a b c e d'un triangolo equilatero a b f, e la corda dell'arco d'essa porzione è 'l lato comune alla porzione e 'l detto triangolo equilatero, e l'arco di tal settore è la sesta parte della circunferenzia di tutto el cerchio.

Settore di cerchio con quadrato costruito sulla corda:

Del quadrato fatto della multiplicazione del lato del triangolo equilatero in se medesimo.
Tal proporzione è da triangolo a triangolo equilatero, qual è da quadrato a quadrato fatto della multiplicazion d'un de' tre lati di tal triangolo in se medesimo.
Quando la corda dell'arco del settore è equale al lato del quadrato, dove el triangolo equilatero s'include, allora il lato del triangolo equilatero e 'l lato del quadrato è un medesimo.

Colonna sinistra.

El circolo del quale il semidiametro è 'l lato d'un triangolo equilatero, contiene in sé sei simili triangoli equilateri. E se tali sei triangoli saranno in contatto al centro d'un medesimo cerchio, allora fia descrip[t]o la figura esagonale, cioè superfizie di sei lati retti e equali; ma se tali sei triangoli saran congiunti a un medesimo punto e [a] [una] medesima circunferenzia di circolo, allora s'aggiugnerà sei porzioni di circolo e 'l nome dell'esagono si transmuterà in sei settori.

Figura di cerchio con compasso:

Primo - c b a - p L

Idem:

Secondo - h e - g f

Idem:

Terzo - r - nm –o - S
Nel primo circolo, poi che sarà diviso in se[i] settori, tu sanza ristrigne[re] l'apritura del sesto con che tu facesti il circolo, porrai ...

Difinizione.

Il settore di circolo è compos[to] di 3 lati, de' quali ve n'è due retti e un curvo (Figura di settore con a b c), come si mostra nella figura a b c.
La porzione di circolo è composta di due lati, delli quali ve n'è uno retto e uno curvo, e 'l curvo è nominato arco e 'l retto si dice corda (Due figure di porzioni).

Figura di cerchio diviso in sei settori e costruzione del triangolo equilatero, con:

l o l - i K; c b a - f - g e-d
Quando el settore è composto della sesta parte del circolo, allora tal settore si risolve in un triangolo equilatero e 'n una porzione di circolo.

In the right margin, at top:

Among the sided surfaces the hexagon is the most noble. But the square is the most useful, since all other surfaces are reduced into that square, and therefore it is called the royal surface.

Right column.

The greatest perfection of the division of the circle into equal parts is the senary number (six), because with one and the same opening of the compass the circle is described and its circumference divided into six equal parts, and the diameter is divided, and the six triangles into which the sectors of the same circle resolve, and the six equilateral triangles into which the hexagon of that circle resolves.
Six arcs and six chords, six sectors, six equilateral triangles, six portions of the circle are made with one and the same opening of the compass.
The most perfect partition of the circle is that of resolving that circle into six equal sectors, because these sectors are composed of an equilateral triangle and of a portion made from one side of the equilateral triangle and from the curved side of the sector of the circle, which joins with the side of the aforesaid triangle.

Inscribed hexagon, with the letters:

b c a — f

Although the sectors of circles are infinite among themselves within a single circle, only that number is perfect from which are drawn six equal and similar sectors, and from which are drawn six triangles and six equal portions, of which the arc of the curved part is made of the sixth part of the circumference and the chord of that arc is made of one of the sides of the equilateral triangle, as is seen here in the margin. The aforesaid sector is composed of a portion of the circle a b c and of an equilateral triangle a b f, and the chord of the arc of that portion is the side common to the portion and the said equilateral triangle, and the arc of that sector is the sixth part of the circumference of the whole circle.

Sector of a circle with a square built on the chord:

On the square made from the multiplication of the side of the equilateral triangle by itself.
That proportion, from triangle to equilateral triangle, is as from square to square made from the multiplication of one of the three sides of that triangle by itself.
When the chord of the arc of the sector is equal to the side of the square in which the equilateral triangle is included, then the side of the equilateral triangle and the side of the square are one and the same.

Left column.

The circle whose semidiameter is the side of an equilateral triangle contains within itself six similar equilateral triangles. And if such six triangles are in contact at the center of one same circle, then the hexagonal figure is described, that is a surface of six straight and equal sides; but if such six triangles are joined at one same point and one same circumference of a circle, then six portions of the circle will be added and the name of the hexagon will be transformed into six sectors.

Figure of a circle with compass:

First — c b a — p L

Likewise:

Second — h e — g f

Likewise:

Third — r — n m — o — S
In the first circle, after it has been divided into six sectors, you, without narrowing the opening of the compass with which you made the circle, will place …

Definition.

The sector of a circle is composed of 3 sides, of which there are two straight and one curved (Figure of a sector with a b c), as is shown in the figure a b c.
The portion of a circle is composed of two sides, of which there is one straight and one curved, and the curved is named the arc and the straight is called the chord (Two figures of portions).

Figure of a circle divided into six sectors and construction of the equilateral triangle, with:

l o l — i K; c b a — f — g e — d
When the sector is composed of the sixth part of the circle, then that sector resolves into an equilateral triangle and into a portion of the circle.

The hexagon and the sixfold division of the circle

The square as the 'royal surface,' and the circle resolved into six sectors, triangles and portions by compass

Geometry

The verso develops the geometry of the regular hexagon and the sixfold division of the circle. Leonardo calls the hexagon the most noble of the sided figures but the square the most useful — the 'royal surface' into which all others are reduced. With a single compass opening he shows the circle divided into six equal sectors, each resolving into an equilateral triangle and a portion, and sets out definitions of sector, portion, arc and chord. Several circle diagrams with a compass illustrate the successive constructions.

Six is the most perfect number for dividing the circle, because a single compass opening describes the circle, cuts its circumference into six equal parts, marks the diameter, and yields six equilateral triangles. Six arcs, six chords, six sectors, six equilateral triangles and six portions all follow from that one setting; the most perfect partition resolves the circle into six equal sectors.

The sector as equilateral triangle plus a portion

Each sixth-circle sector is composed of a portion of the circle (a b c) and an equilateral triangle (a b f); the chord of the portion's arc is the side common to portion and triangle, and the arc is a sixth of the whole circumference. Only the number giving six equal and similar sectors is 'perfect.'

Definitions of sector, portion, arc and chord

A definition states that the sector of a circle has three sides — two straight and one curved (a b c) — while the portion of a circle has two sides, one straight and one curved: the curved side is named the arc, the straight side the chord.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.

Nel margine destro in alto:

Colonna destra.

Esagono iscritto colle lettre:

Settore di cerchio con quadrato costruito sulla corda:

Colonna sinistra.

Figura di cerchio con compasso:

Idem:

Idem:

Figura di cerchio diviso in sei settori e costruzione del triangolo equilatero, con:

In the right margin, at top:

Right column.

Inscribed hexagon, with the letters:

Sector of a circle with a square built on the chord:

Left column.

Figure of a circle with compass:

Likewise:

Likewise:

Figure of a circle divided into six sectors and construction of the equilateral triangle, with:

The hexagon and the sixfold division of the circle

On this page

The hexagon most noble, the square most useful

Dividing the circle into six with one compass setting

The sector as equilateral triangle plus a portion

Definitions of sector, portion, arc and chord