Per riportare la figura a r b c in g r f l, piglia col sesto lo spazio a b e riportalo in g f. Poi apri il sesto secondo lo spazio a K e ferma una punta del sesto in g, e fa' co' l'altra punta la periffa a b di sotto. Dipoi farai il simile ponendo la punta del sesto in f, facendo coll'altra punta la periffa c d. Fatto questo, colla medesima apritura del sesto fermerai l'una delle sue punte nella intersegazione delle due periffe a b c d e, coll'altra punta, farai la periffa g r f. Fatto che hai questo, piglia col sesto lo spazio c b e poni la punta del sesto in f di sopra, e fa' la periffa e f di sotto. Dipoi apri il sesto secondo lo spazio a c di sopra e poni l'una delle sua punte in g di sopra, e fa la periffa h g di sotto e, nella intersegazione delle due dette periffe si terminino le due rette f L e g L, e, così, abbian attenuto la intera promessa.

Dipoi d'essa figura voglio tagliare la parte d x h c, e piglierò col sesto lo spazio b h e porterollo in f n; po' piglierò lo spazio a d e riporterollo in g m di sopra. Oltre a di questo io aprirò il sesto secondo lo spazio p K e porrò poi una delle sue punte in n e, coll'altra punta, farò la periffa o d di sotto. Poi rimetterò la medesima punta del sesto in m e, coll'altra punta, farò la periffa b r di sotto, e, sanza movere l'apritura di tal sesto, i' metterò una delle sue punte nella intersegazione delle due dette periffe e, coll'altra punta, farò la periffa m o n di sopra. E così ho finita la promessa e ho fatto la figura g r f n o m equale e simile alla figura a r b h x d, ch'èra il nostro intendimento.

Per le regole del primo di questi elementi geometrici, noi abbiamo fatto due superfizie d'equal valuta, delle quali l'una è h e f r g, l'altra è g f n o m [2 figg. dalla Fig. 1], levando la porzione g r f all'una e all'altra intera superfizie. Seguita l'intento mio col porre in disparte esse figure, levandole col sesto nel modo insegnato di sopra

a r b f d x h e g c r m o n q e h L g f   K   o r b d c a d

a b c d e f g

La falcata a d b e c f g è pari alla valuta del triangolo a b c. Provasi perché io levo a essa falcata le due porzioni a b d e 'l b c e, e rendole la porzione g c f che vale le due porzioni predette.

E sempre fa il medesimo essendo posta la porzione g f c nella porzione a b c.

Trai la porzione g f c di qualunche parte ti piace della porzione a b c, sempre il rimanente sarà equale alla falcata a d b e c f g, la quale è quadrabile perché vale il triangolo a b c.

a

a è simile al triangolo di sopra.

a

a

a è il medesimo di sopra.

n m

n m o

n m o è simile alli altri.

n

Trai n del triangolo di sopra a b c e 'l rimanente della porzione sarà equale al rimanente del triangolo a b c.

a

Presta campo maggiore alle due periffe.

A; a b

A - A. Tu hai quattro porzioni sopra a e hai un triangolo b sotto a, il quale, giunto colle quattro dette porzioni si fa equale alla porzion di sopra g f c. Il quale triangolo b partirai in quattro e darai ciascun quarto a ciascuna porzione, e arai fatto quattro figure di spezie di settori che stanno così [Fig. 14], e saranno equali alli due di sopra a d b e b e c e alla medesima periffa.

Questa falcata è di punto simile in valuta alla falcata curvilinia di sopra. Io le tolgo poi quattro porzioni di fori e rendo le due di dentro della medesima valuta. Adunque tal falcata resta quadrata, di quadratura simile alla falcata quadrata di sopra e, per conseguenza, rimane equale alla quantità del triangolo a b c di sopra. Resta il triangolo b per sé, che non si presta tutto colle sue porzioni come esso fece di sopra.

Ancora e' pare che questa quadratura della falcata di sotto sia di punto simile alla quadratura di sopra, perché essa quadratura di sopra lascia sopra di sé nel quadrarsi due porzioni equale alla porzione che essa si incorpora; e il simile fa questa di sotto che lascia quattro porzioni piccole di fori e lascia il triangolo b di dentro, al quale triangolo, se s'aggiugnerà le quattro porzione di fori, si rintegrerà della valuta delle dua porzioni che lui presta alla quadratura della falcata. E così il triangolo b colle due porzioni che lo continuano son simili alla porzione g f c. Adunque la dette quadrature delle due falcate sono equali. Concludo quella di sopra lasciare nella sua quadratura for di sé dal lato di sopra dua falcate equali alla falcata di sotto di che essa rintegra. E questa di sotto lascia nella sua quadratura parte di sopra colle quattro porzioni, e parte di sotto col triangolo rettilinio b. E per questo si conclude essere tutta una invenzione e no effetto.

Avendo concluso che, traendo la porzione g f c di qualunque parte si voglia della porzione d a b e c e che sempre il rimanente d'essa porzione maggiore è quadrabile ed è equale al triangolo rettilinio a b c, e per questo io conosco potersi variare la porzione g f c in infinite figure, le quali potran servire al nostro intento. Le uali figure alcuna volta saranno unite e alcuna volta di più pezzi, li quali rimessi insieme farà varie figure. La prima sarà a b di sotto, della qual, tratto la falcata laterata, resta a. Resta il triangolo b colle quattro porzioni di fori equale alla porzione g f c di sopra. Dipoi io farò la detta falata in figura di sue lati d'equal curvità sanza mutare la valuta, e la trarrò della porzion maggiore e resterà il rimanente equale alla minore porzione g f c. Dipoi io quadrerò la falcata di sopra e caverolla della maggiore porzione; e resterà il rimanente equale alla falcata minore e starà così [Fig. 16], e poi così [Fig. 17], come dire: dammi tre porzioni, o quattro, o sei, d'un medesimo cerchio che sieno equali a una porzione del medesimo cerchio, che in questa cerca è cosa mirabile. E così se ne pò fare tre equali a due di medesime periffe, e così darne in ogni data proporzione. Ora seguirà il dare porzioni di varie periffe equali alla porzione di sopra; e così dare settori di vari cerchi tutti, o parte che sieno, equali a essa porzione.