100%

Reset zoom

© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Settore di grande semicerchio, lunola sovrapposta con semiesagono iscritto, con:

c b – d a – n o – g e

Per quadrare la lunola dello esagono io le to[l]go 4 porzioni equali, cioè a b c d, e dirizzo li lochi dond'essi si partano¹, e con altre 4 porzioni equali in quantità alle porzioni levate, cioè e o n g². Ma mi bisogna con certezza alzare o abbassare tanto c in b, che b rimanga equale al c, il quale c è simile a tutte l'altre porzioni.

In alto gruppi di figure da destra a sinistra, con:

a;b;b-e-dc;a;b;b;a-b-edc; n-o -p m

A sinistra:

Leva a scempio dall'una e del d doppio leva un'altra. All'altra resterà parte equale (Figure di porzione e lunole) cioè n o m e o p³. Trai m di p, resterà una parte di p equale al n; ma se tu ...

A destra.

Ma poniam quarto e ottavo di cerchi doppi l'uno all'altro, e crescine lo quarto tanto di superfizie, che sia equale all'ottavo⁴. Io leverò a scempio della superfizie a b e c, e leverò una delle 2 porzioni che son doppie in b. Resterammi b scempio e c scempio equale a tutto d scempio. Trai c di d, resta in d una parte scempia rettilinia, equale alla porzione b.
Qui mi resta a fare a equale al b, e sappi che qui ogni falcata riman quadrata.
Io levo a al settore e c b, e levo b al settore b c d,
e resta parte equale de l'un come de l'altro settore, e più la porzione b, ch'era dopp[i]a 5).
Resta b e c da una parte e e d all'altra. Ora b è
l'eccesso che ha b e c sopra e d.
Ora⁶ se d sarà equale al c, sanza dubbio a sarà equale al b, ch'è quel che i' voglio; e se c sarà minore o maggiore di d, allora a sarà maggiore o minore di b, che non è il mio proposito. Farò adunque c equale al d, e sarò certo poi che l'a sarà fatto equale al b, i quali, separati dal e c d, li metterò a riscontro in b c, e arò fatto il bisogno di Zenofonte⁷. E s'io vorrò quadrar la porzione b, i' las[c]erò stare come vedi, e dirò che b c sia contatto comune de' 2 settori. Adunque a c dell'un settore, che non tocca, sarà equale al d, che non si tocca, dell'altro settore. Trai c di d, resta una parte di d equale al a e per conseguente al b, che è equale a esso a, e così b resta quadrato col rimanente di d, trattone c.

Colonna centrale.

Ora resta nella seconda dimostrazione da una parte tutto il primo settore b e c manco a, e dall'altra parte resta e d manco b, che a b levati son post[t]i di sopra in disparte. Ora se a cose equali si leva parte equale, il rimanente sarà equale, a b levati sono equali, resta b e c equale a e d. Trai c di d, resterà il rimanente di d equale al rimanente di c, che è b porzione. Ora trova modo a fare equali a b e ogni altra cosa sta bene.

Colonna sinistra.

* Adunque per vedere se a è pari al b, leva la falcata a, ch'è scempia, e leva la porzione b scempia perché doppia, e resterà da una parte b e c e dall'altra e d.
Per vedere se a (Figura di falcata) è pari a b (Figura di porzione) tu sai che, sendo li settori equali, che ciò che di lor si tocca è in sé pari, e pari ancora è quel che non si tocca. Adunque a c dell'un settore è pari a d solo dell'altro settore. Trai c del d, maggiore di lui, e resterà d'esso d una parte equale al a (Figura di falcata) e fia rettilinia, e questa metti in disparte (Figura di triangolo).
Di poi sdoppia b, gittando via una delle 2 porzioni che si sopra pongano; resta b scempio, e doppio e c scempio, equale al e doppio, e d scempio.
Adunque, essendo e doppio ed equale, se da cose equali si leva, eccetera. Adunque b c da una parte resta equale al d dell'altra parte; trai c rettilinio del d rettilinio, resterà del d una parte equale al d, e fia quadrata. Ora equipera essa quadratura del b colla prima quadratura del a che mettesti in disparte, e se saranno equali, equali ancora saranno ab; e se non sono equali, rifa tanto la sopra detta prova che restino equali.

In basso, la stessa figura, con:

a-b-c-ed
I' leverò a scempio, resterà b c doppio e d e scempio. Ma resterà e maggiore che d per tanto quanto fu la parte a, che si levò del d. Trai adunque d minore di d maggiore, resterà una parte del e che sarà equale allo a.

Sector of a large semicircle, superimposed lune with an inscribed half-hexagon, with:

c b - d a - n o - g e

To square the lune of the hexagon I take from it 4 equal portions, that is a b c d, and I straighten the places from which they depart, and fill with another 4 portions equal in quantity to the portions removed, that is e o n g. But I need with certainty to raise or lower c into b so much that b remains equal to c, which c is similar to all the other portions.

Above, groups of figures from right to left, with:

a; b; b - e - d c; a; b; b; a - b - e d c; n - o - p m

On the left:

Remove a single from the one, and from the double d remove another. To the other there will remain an equal part (figures of portion and lunes), that is n o m and o p. Draw m from p, and there will remain a part of p equal to n; but if you ...

On the right.

But let us suppose a quarter and an eighth of circles double one to the other, and let the quarter grow so much in surface that it be equal to the eighth. I shall remove a single from the surface a b and c, and I shall remove one of the 2 portions that are double in b. There will remain to me b single and c single, equal to the whole d single. Draw c from d, and there remains in d a single rectilinear part, equal to the portion b.
Here it remains for me to make a equal to b, and know that here every crescent remains squared.
I remove a from the sector e c b, and I remove b from the sector b c d, and there remains an equal part of the one as of the other sector, plus the portion b, which was double.
There remain b and c on one side and e d on the other. Now b is the excess that b and c have over e d.
Now if d be equal to c, without doubt a will be equal to b, which is what I want; and if c be smaller or larger than d, then a will be larger or smaller than b, which is not my purpose. I shall therefore make c equal to d, and I shall then be certain that a will have been made equal to b; and these, separated from e c d, I shall set opposite in b c, and I shall have accomplished the requirement of Xenophon. And if I wish to square the portion b, I shall leave it as you see, and I shall say that b c be the common contact of the 2 sectors. Therefore a c of the one sector, which does not touch, will be equal to d, which does not touch, of the other sector. Draw c from d, and there remains a part of d equal to a and consequently to b, which is equal to that a, and thus b remains squared with the remainder of d, c being taken from it.

Central column.

Now there remains in the second demonstration, on one side, the whole first sector b e c less a, and on the other side there remains e d less b, since a b, once removed, are set aside above. Now if from equal things an equal part is removed, the remainder will be equal; a b removed are equal; there remains b e c equal to e d. Draw c from d, and the remainder of d will remain equal to the remainder of c, which is the portion b. Now find a way to make a b equal and everything else is well.

Left column.

Therefore, to see whether a is equal to b, remove the crescent a, which is single, and remove the portion b single because it is double, and there will remain on one side b and c and on the other e d.
To see whether a (a crescent figure) is equal to b (a portion figure), you know that, the sectors being equal, whatever of them touches is in itself equal, and equal too is that which does not touch. Therefore a c of the one sector is equal to d alone of the other sector. Draw c from d, greater than it, and there will remain of that d a part equal to a (a crescent figure), and it will be rectilinear; and set this aside (a triangle figure).
Then un-double b, throwing away one of the 2 portions that are superimposed; there remains b single, and the double, and c single, equal to the double e, and d single.
Therefore, e being double and equal, if from equal things one removes, etc. Therefore b c on one side remains equal to d on the other side; draw the rectilinear c from the rectilinear d, and there will remain of d a part equal to b, and it will be squared. Now compare that quadrature of b with the first quadrature of a that you set aside, and if they are equal, a b will likewise be equal; and if they are not equal, redo the above-said proof so much that they remain equal.

Below, the same figure, with:

a - b - c - e d

I shall remove a single, there will remain b c double and d e single. But e will remain greater than d by as much as was the part a, which was removed from d. Draw therefore the lesser d from the greater d, and there will remain a part of e that will be equal to a.

Squaring the Lune of the Hexagon and Crescents

Geometric proofs equating crescents, portions and sectors, invoking the classical problem of squaring.

Geometry

The verso continues the quadrature studies with proofs that convert lunes, crescents and portions into equal squares and rectilinear figures. Leonardo squares the lune of the hexagon by removing four equal portions and restoring their value, and works a long demonstration on a quarter and an eighth of circles double one another, adjusting c and d until crescent a is proved equal to portion b, an operation he calls fulfilling 'the requirement of Xenophon.' Repeated columns rehearse the same take-and-render method so that equal parts removed from equal sectors leave equal remainders. The Ambrosiana catalogue also tags the leaf with mechanical devices, though the transcribed material here is entirely geometrical.

To square the lune of the hexagon Leonardo removes four equal portions a b c d, straightens the places from which they depart, and fills with four further portions e o n g equal in quantity to those removed. He must raise or lower c into b until b remains equal to c, which is similar to all the other portions.

Crescent equated to portion: the 'requirement of Xenophon'

Taking a quarter and eighth of circles double one another, Leonardo removes singles and un-doubles portions so that b single and c single equal the whole d single. By making c equal to d he ensures crescent a becomes equal to portion b, declaring he has accomplished 'the requirement of Xenophon,' with the common contact b c shared by the two sectors.

Equal parts removed from equal sectors leave equal remainders

In the second demonstration the whole first sector b e c less a on one side and e d less b on the other are compared; since a and b removed are equal, b e c equals e d. Drawing c from d leaves a remainder of d equal to the portion b, so the crescent and the portion are shown equal by the take-and-render method.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.