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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Angolo superiore destro:

E casi del travagliare le porzioni o falcate.
Prima. - Torre e render quel medesimo che si
toglie da un'altra parte.
Seconda. - Torre in una figura di superfizie e
rendere la valuta¹ 'n un'altra figura.
Terza. - Torre in due parte d' una superfizie
e rendere la valuta 'n un solo loco.
Quarta. - Prestare una quantità a 2 superfizie
equali in varie figure.
Quinta. - Fare una medesima superfizie curvilinia in varie figure.
Sesta. - Fare una superfizie curva in una chiesta²
proporzione a un'altra.

Lungo il margine superiore: Figura colle lettere:

c-s-db-n-o-a/ed

-f g

Leva alla mezza porzione grande la mezza porzione grande³ S c, e altrettanta valuta leva della intera porzione, che sarà e f Rimarrà d e g f equale al c d S n b o a. Di poi va disotto a piè di questa faccia⁴, a due quarti d'un medesimo cerchio, e leva all'uno e all'altro il simile dell'antidetto. El rimanente resta equale infra sé ed equale all'antidetto.

Nel maggior disegno le lettere:

cSb– edKno – qfgha – L - p

A destra:

Presta la periffa d e alla falcata a b c d, e sarà poi a b c e; e presta altrettanta periffa, o 2 volte tanto, alla periffa e f e sarà poi e L; e tira la retta c, e così farai in g L.

Colonna centrale:

a b c f vale a n f p. Trai la porzione a n f delle due dette quantità, cioè una dell'una e un'altra dell'altra. Resta la falcata abncf equale al triangolo g f p.
Di poi io quadro la falcata togliendo di fori aob e b c, che vuol dire una porzione e mezzo, che vagliano le 3 di sotto onef, le quale io le rendo. Resta ob - n c - ef equale al triangolo gfp, ed è quadrata la falcata colla sua prima valuta, ancora che in tale quadratura della falcata e' fussi bastante il triangolo g f p, a essa falcata equale in valuta.
La punta della falcata a b o è pari alla porzione a o. E provasi, perché la porzione a b è doppia alla porzione a o, e traendo la minor porzione della maggiore, il rimanente d'essa maggiore è equale a tutta la minore. E che la maggiore sia doppia alla minore si prova, perché li cerchi, donde le 2 periffe son cavate, son doppi l'uno all'altro, e le porzioni, tolte dall'ottavo del cerchio maggiore, son doppie alle porzioni dell'ottavo del cerchio minore. E cosi sempre seguita le parte proporzionate alli loro cerchi, che sempre saran nella medesima proporzione infra loro, qual è quella de' lor circoli.
Restami a vedere che parte sia la superfizie cfq di tutta la falcata abncfq, da poi che abbian provato la falcata acf esser pari al triangolo gfp, e pari alla quadratura obn-cef, in modo che la seconda quadratura non esce della falcata e ancor non ha bisogno della quadratura del triangolo g p f
ma sol esso g p f s'adopera per similitudine della quadratura di tal falcata.
Direno adunque con certezza la parte della falcata adoncd essere equale alla parte della porzione dgf e che aggiunto a tale falcata la parte edf rettilinia, che si po ancora aggiugnere dhg, equale al cdf alla parte della porzione curvilinia dfg, e sarà poi ...

Margine destro figura con:

a b c d

Leva le 4 porzioni e parti il rimanente in 4 equali in valuta, e che ciascuna parte sia triangolare e che li angoli concorrino in punto sopra la corda dell'arco.

Con riferimento alla figura maggiore:

Da poi che noi siano coll'aiuto del prestare venuti alla notizia del quadrare la falcata a o b n – c e f la quale in sé si quadra col torre e rendere la medesima valuta; e ancora abbian la medesima quadratura nel triangolo gfp, ancora io intendo quadrarne un'altra parte, che sarà la falcata a o b n c K, la quale è curvilinia. Io le torrò una porzione e mezza dal lato di fori in a b e in b c, e renderolli di dentro la medesima valuta con le 3 piccole porzioni; e ancora che la porzione a o se ne trovi fori, ella s'intende nella medesima valuta.
Leva le punte delli angoli nere, che sien d'equal valuta, così alla falcata come alla porzione; e 'l rimanente sarà equale.

Quattro figure colle lettere:

K - a – h b S -ct –d

o – p – n n⁵

K o - p - h – m n

a b sono equali ed equale è il contatto ed equale il rimanente de' 2 triangoli d c.
Io leverò delle 2 superfizie di sotto, che sono equali a quelle di sopra, e simile alla più stretta, e leverò del n m 2 parte simile ed equali al⁶ d c che sono equali, e così il rimanente resta equale. Io leverò p, equale al S t⁷; ma perché la periffa di S t non è simile alla periffa del p, io farò la dimostrazione in 2 alt[r]e figure equali a quelle che son poste dinanti a quelle, e levando p, il rimanente sarà equale al a b e sarà diviso in due parte: una parte sarà la falcata o e l'altra sarà rettilinia. E perché la falcata o è simile al rimanente di n, e ancora in sé è quadrabile per avere equali periffe e simili. Di poi io quadrerò la falcata e s'ella sarà equale al rimanente rettilinio dell'altro settore, starà bene.

Upper right corner:

And the cases of working the portions or crescents.
First. - Take and give back the very thing that is taken, from another part.
Second. - Take in one figure of surface and give back the value in another figure.
Third. - Take in two parts of a surface and give back the value in a single place.
Fourth. - Lend a quantity to 2 equal surfaces in various figures.
Fifth. - Make one same curvilinear surface in various figures.
Sixth. - Make a curved surface in a required proportion to another.

Along the upper margin, figure with the letters:

c - s - d b - n - o - a / e d - f g

Take from the large half-portion the large half-portion S c, and take as much value from the whole portion, which will be e f. There will remain d e g f equal to the c d S n b o a. Then go below at the foot of this face, to two quarters of one same circle, and take from the one and from the other the like of the aforesaid. The remainder stays equal among itself and equal to the aforesaid.

In the larger drawing, the letters:

c S b - e d K n o - q f g h a - L - p

To the right:

Lend the periphery d e to the crescent a b c d, and it will then be a b c e; and lend as much periphery, or twice as much, to the periphery e f, and it will then be e L; and draw the straight line c, and so you will do in g L.

Central column:

a b c f is worth a n f p. Draw off the portion a n f from the two said quantities, that is, one from the one and another from the other. There remains the crescent a b n c f equal to the triangle g f p.
Then I square the crescent by taking from outside a o b and b c, which means a portion and a half, which are worth the 3 below, o n e f, which I give back. There remains o b - n c - e f equal to the triangle g f p, and the crescent is squared with its first value, although in such squaring of the crescent the triangle g f p would suffice, equal in value to that crescent.
The point of the crescent a b o is equal to the portion a o. And it is proved, because the portion a b is double the portion a o, and taking the lesser portion from the greater, the remainder of that greater is equal to the whole lesser. And that the greater is double the lesser is proved, because the circles from which the 2 peripheries are cut are double one to the other, and the portions taken from the eighth of the greater circle are double the portions of the eighth of the lesser circle. And so the parts proportioned to their circles always follow, which will always be in the same proportion among themselves as is that of their circles.
It remains for me to see what part the surface c f q is of the whole crescent a b n c f q, since we have proved the crescent a c f to be equal to the triangle g f p and equal to the squaring o b n - c e f, so that the second squaring does not go out of the crescent and yet has no need of the squaring of the triangle g p f, but only that g p f is employed for the likeness of the squaring of such crescent.
We will say then with certainty the part of the crescent a d o n c d to be equal to the part of the portion d g f, and that, added to such crescent the part e d f rectilinear, which can further be added d h g, equal to the c d f, to the part of the curvilinear portion d f g, and it will then be ...

Right margin, figure with:

a b c d

Take away the 4 portions and divide the remainder into 4 equal in value, and let each part be triangular, and let the angles meet at a point upon the chord of the arc.

With reference to the larger figure:

Since we have, with the aid of lending, come to the knowledge of squaring the crescent a o b n - c e f, which squares itself by taking and giving back the same value; and we have moreover the same squaring in the triangle g f p; I further intend to square another part, which will be the crescent a o b n c K, which is curvilinear. I will take from it a portion and a half from the outer side at a b and at b c, and give back on the inside the same value with the 3 small portions; and although the portion a o be found outside, it is understood in the same value.
Take away the points of the black angles, which are of equal value, both from the crescent and from the portion; and the remainder will be equal.

Four figures with the letters:

K - a - h b S - c t - d

o - p - n n

K o - p - h - m n

a b are equal, and equal is the contact, and equal the remainder of the 2 triangles d c.
I will take from the 2 surfaces below, which are equal to those above, and similar to the narrower, and I will take from the n m 2 parts similar and equal to the d c, which are equal, and so the remainder stays equal. I will take away p, equal to the S t; but because the periphery of S t is not similar to the periphery of the p, I will make the demonstration in 2 other figures equal to those that are placed before those, and taking away p, the remainder will be equal to the a b and will be divided into two parts: one part will be the crescent o and the other will be rectilinear. And because the crescent o is similar to the remainder of n, and moreover in itself is squarable by having equal and similar peripheries. Then I will square the crescent, and if it will be equal to the rectilinear remainder of the other sector, it will stand well.

The Six Cases of Squaring Crescents and Lunes

Rules for reshaping curved surfaces by taking, giving back, and lending portions between figures

Geometry

A geometrical page that opens by enumerating six 'cases' for working curved portions and crescents, from simply taking and giving back the same value to making one curved surface in a required proportion to another. Leonardo then applies them to square a crescent by lending peripheries between figures, proving that the crescent a b n c f equals the triangle g f p and that a crescent's point equals a portion because the circles from which the peripheries are cut stand in fixed proportion. Further constructions divide a remainder into equal triangles meeting on the chord of an arc and reduce curved surfaces to rectilinear ones. The sheet is covered with small arc, lune and triangle figures illustrating each step.

Leonardo lists six operations: first, take and give back the same thing from another part; second, take in one surface-figure and return its value in another; third, take from two parts of a surface and return the value in one place; fourth, lend a quantity to two equal surfaces of various figures; fifth, make one curvilinear surface in various figures; sixth, make a curved surface in a required proportion to another.

Squaring the crescent by lending peripheries

Since a b c f is worth a n f p, drawing off the portion a n f from each leaves the crescent a b n c f equal to the triangle g f p; taking a portion and a half outside and returning three small portions squares it as o b n c e f. The crescent's point a b o equals portion a o, because portion a b is double a o, the parent circles being double one another and their eighth-portions in the same proportion.

Dividing the remainder into equal triangles on the chord

In figure a b c d, take away the four portions and divide the remainder into four parts equal in value, each triangular, with the angles meeting at a point upon the chord of the arc.

Squaring the curvilinear crescent a o b n c K

Having squared the crescent a o b n c e f by taking and returning the same value, and matched it to triangle g f p, Leonardo squares the curvilinear crescent a o b n c K: he removes a portion and a half from the outer side at a b and b c and returns the same value inside with three small portions, then cuts equal black angle-points from crescent and portion so the remainders stay equal.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.