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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

In alto, dalla destra, figura:

Prima - t r S - v
Se due superfizie equali in quantità e varie in figure saranno in parte sopra poste l'una all'altra, quel che di lor si tocca fia equale in quantità e in figura, e quel che di lor non si tocca sarà equale in quantità e rare volte In figura. Adunque, essendo qui il circolo r v equale al semicircolo S r t, la parte r che di loro si tocca, è equale e simile; ma le parte S t v che di loro non si toccano, sono equali ma non simili; cioè S t, eccessi del semicircolo, non son simili in figura all'eccesso del circolo v, ma ben sono equali. Pruovasi così, dicendo che se da cose equali si leva parte equali, il rimanente sarà equale. Adunque, essen[d]o il contatto comune del circolo col semicircolo in r, noi levereno r al semicircolo e resterà S t, e leveremo ancora r al circolo e resterà la porzione v. Adunque le due falcate S t restano equali infra loro e restano equali alla porzione v del circolo minore.

Figura:

Seconda - m g h
Se saran due superfizie duple in quantità, la metà della maggiore val tutta la minore. E se tutta la minore sarà sopra posta alla maggiore, li eccessi della maggiore vale tutta la superfizie minore. Addunque, essendo il semicircolo h g m duplo al circolo g e che tal circolo ne occupi una quantità equale a sé, elli è necessario che le parte del semicircolo che eccedano il circolo, sieno equali a tal circolo. Seguita che la metà del circolo g vale una delle due falcate h m.

Figura:

Quarta –ceadb - f n

Figura:

Terza –L K – o t – x v
Per quel che è concluso nelle due passate, prima e seconda e terza¹, al presente si termina in questa quarta, dove essa prima e seconda s'include. Come, se nella terza la lunola vale il circolo da lei contenuto, la metà della lunola x v vale la metà del circolo L. La metà dell'altra divisione d'essa lunola v x vale ancora lei la metà d'esso circolo K L. Adunque il rimanente superiore della lunola vale il rimanente del circolo, cioè l'altra metà d'esso circolo. M[a] nella quarta figura s'include la sustanzia dell'altre tre figure, e direno per la seconda, m h falcate valere il circolo da esse contenuto. Seguita che tal falcate vagliano la lunola della terza difinizione.

Nel margine superiore:

Le 3 circunferenze de' 3 circoli hanno a essere contingenti infra loro sopra un medesimo punto; dico in questa quarta.

Più a sinistra:

Se nella quarta la lunola vale il circolo da lei contenuto e le due falcate b d,e c vagliano il medesimo circolo, e' seguita che, levando dalla lunola e dalle falcate parte equali, e li lor rimanenti saranno equali.
Adunque i' leverò n f dalla lunola e resterà le due falcate d e, e leverò b c delle due falcate e resterà medesimamente d e

Figura:

Quinta - a -d b - e
a vale b d e vale b c. Leva dall'un e da l'altro parte equali, il rimanente fia equale. Leva c dal b c, resta b. E leva d dal b d, resta b. Ancora leva a dal b c, resta ...

A sinistra:

a vale b c per la terza, e vale b d per la prima; a b d, quarto di circolo, vale a b c mezzo circolo e vale a c d.

Figure colle lettere:

ab-cd-e-f
a val b, c, d, e, f.

Segue la colonna sinistra con riferimento alla figura "quarta":

La lunola non è maggiore del circolo da lei contenuto, né le due falcate doppie d b, e c non sono maggiori d'esso minor circolo, essendo posto la lunola sopra le due falcate equale a lei. E li eccessi b n sono equali, e la falcata d è in contatto col circolo minore col suo lato concavo, e in contatto è colla sua concavità la predetta lunola. Adunque essendo in equale e comun contatto col minor circolo così la lunola co' sua lati e similmente le due falcate, ciò che si toccan l'un l'altro delle due falcate son simili ed equali infra sé, coprendo l'una parte l'altra; e i lati delle due falcate doppie vagliano il circolo, e' simile fanno i lati della lunola.
E se per l'avversario b n è sempre equale², ancora che si raddoppiassi in magnitudine e che si diminuissi — e la falcata b può diminuire in infinito per esser lei quantità continua — segu[i]ta che non è necessario alla equalità del b n che d sia equale a ciascun di loro, cioè b n. Questo non si nieghe, che in sé non faccia tale effetto, ma lo spazio che infra loro si occupa del minore circolo, diminuirebbe e crescerebbe secondo la diminuizione o accrescimento delle due falcate b d.

A destra:

f vale d b e vale d h e b h³. Trai d del dh, resta h; e t[r]ai d del d b, resta b equale allo h. E se per l'avversario d è minore che 'l b o che l'h, e dice d essere uno e b due, e due e due è ancora lo h, noi farén la calculazione intersegata e direno: h è due e b 2 e 'l d uno. Giugni h d insieme, tu hai 3 per la valuta del semicircolo f. E giugni d con b, tu hai ancora 3 per la valuta dello f. Ma perché noi siam certi che h b vale h d, e valendo h 2 e b due, che fa 4, e lo h d non fa se non tre, questo è falso per l'avversario. Addunque poi ch'ell'è trovato d b essere equale al d h e abbian per certo che h b sono infra loro equali, il detto del detto avversario è nulla, con ciò sia che 'l d non si po crescere né diminuire in nessun modo che la calculazione intersegata torni a fare h b equale, la qual cosa è di notissima equalità, come si prova nella terza dimostrazione, o voi di[re] nella prima di sopra, dove si mostra essere necessario che v porzione vaglia le due falcate S t.
E se la porzion v, che sta for del semicircolo, sarà rimessa dentro a tal semicircolo, cioè la sua valuta, tu farai la seconda dimostrazione h g m. Mostrasi nella terza di sopra, come del circolo messo nel semicircolo della prima di sopra si cava una lunola che vale il minore circolo, ed è quella che divide per metà le due falcate b d, e c della quarta dimostrazione.
Tutte le predette parti son ciascuna per sé equali alla metà del circolo minore e la luna⁴ della quarta di sopra vale il circolo da lei contenuto. E se la porzione vale (come provato) la metà d'esso minor circolo, due d'esse porzioni sono equali al predetto minor circolo e son equali alla metà del circolo mezzano e alla metà della porzione del maggior semicircolo, eccetera.

* Figura colle lettere:

bpa-no-tcS

a b val c, perché S t, massime porzioni del semicircolo, vagliano o p n.
Riempiesi li vacui colle superiori porzioni massime puntate.

Above, from the right, figure:

First - t r S - v
If two surfaces equal in quantity and various in figure are partly superimposed one on the other, that of them which touches will be equal in quantity and in figure, and that of them which does not touch will be equal in quantity and rarely in figure. Therefore, the circle r v being here equal to the semicircle S r t, the part r which of them touches is equal and similar; but the parts S t v which of them do not touch are equal but not similar; that is, S t, the excesses of the semicircle, are not similar in figure to the excess of the circle v, but they are indeed equal. It is proved thus, saying that if from equal things equal parts are taken, the remainder will be equal. Therefore, the common contact of the circle with the semicircle being in r, we will take r from the semicircle and there will remain S t, and we will take also r from the circle and there will remain the portion v. Therefore the two crescents S t remain equal among themselves and remain equal to the portion v of the lesser circle.

Figure:

Second - m g h
If there are two surfaces double in quantity, the half of the greater is worth the whole lesser. And if all the lesser is superimposed on the greater, the excesses of the greater are worth the whole lesser surface. Therefore, the semicircle h g m being double the circle g, and that circle occupying a quantity equal to itself, it is necessary that the parts of the semicircle which exceed the circle be equal to that circle. It follows that the half of the circle g is worth one of the two crescents h m.

Figure:

Fourth - c e a d b - f n

Figure:

Third - L K - o t - x v
By what is concluded in the two past ones, first and second and third, at present it is determined in this fourth, in which that first and second is included. As, if in the third the lune is worth the circle contained by it, the half of the lune x v is worth the half of the circle L. The half of the other division of that lune, v x, is worth also itself the half of that circle K L. Therefore the upper remainder of the lune is worth the remainder of the circle, that is, the other half of that circle. But in the fourth figure is included the substance of the other three figures, and we will say, by the second, m h crescents are worth the circle contained by them. It follows that such crescents are worth the lune of the third definition.

In the upper margin:

The 3 circumferences of the 3 circles have to be tangent among themselves upon one same point; I say in this fourth.

Further to the left:

If in the fourth the lune is worth the circle contained by it, and the two crescents b d, e c are worth the same circle, it follows that, taking from the lune and from the crescents equal parts, their remainders will be equal.
Therefore I will take n f from the lune and there will remain the two crescents d e, and I will take b c from the two crescents and there will likewise remain d e.

Figure:

Fifth - a - d b - e
a is worth b d, and e is worth b c. Take from the one and from the other equal parts, the remainder will be equal. Take c from the b c, there remains b. And take d from the b d, there remains b. Again take a from the b c, there remains ...

To the left:

a is worth b c by the third, and is worth b d by the first; a b d, a quarter of a circle, is worth a b c, half a circle, and is worth a c d.

Figures with the letters:

a b - c d - e - f

a is worth b, c, d, e, f.

Continuing the left column with reference to the figure 'fourth':

The lune is not greater than the circle contained by it, nor are the two double crescents d b, e c greater than that lesser circle, the lune being placed upon the two crescents equal to it. And the excesses b n are equal, and the crescent d is in contact with the lesser circle by its concave side, and the aforesaid lune is in contact by its concavity. Therefore, being in equal and common contact with the lesser circle, both the lune with its sides and likewise the two crescents, whatever of them touch one another of the two crescents are similar and equal among themselves, the one part covering the other; and the sides of the two double crescents are worth the circle, and the like do the sides of the lune.
And if, for the adversary, b n is always equal, even though it were doubled in magnitude and were diminished - and the crescent b can diminish infinitely, being a continuous quantity - it follows that it is not necessary to the equality of the b n that d be equal to each of them, that is, b n. This is not denied, that in itself it does not make such an effect, but the space that is occupied among them of the lesser circle would diminish and grow according to the diminution or increase of the two crescents b d.

To the right:

f is worth d b and is worth d h and b h. Draw off d from the d h, there remains h; and draw off d from the d b, there remains b equal to the h. And if, for the adversary, d is less than the b or than the h, and says d to be one and b two, and two and two is again the h, we will make the intersected calculation and will say: h is two and b 2 and the d one. Join h d together, you have 3 for the value of the semicircle f. And join d with b, you have again 3 for the value of the f. But because we are certain that h b is worth h d, and h being worth 2 and b two, which makes 4, and the h d does not make more than three, this is false for the adversary. Therefore, since it is found d b to be equal to the d h and we have for certain that h b are equal among themselves, the saying of the said adversary is nothing, since the d cannot be increased or diminished in any way that the intersected calculation returns to make h b equal, which thing is of most known equality, as is proved in the third demonstration, or if you will in the first above, where it is shown to be necessary that v portion be worth the two crescents S t.
And if the portion v, which stays outside the semicircle, will be put back inside such semicircle, that is, its value, you will make the second demonstration h g m. It is shown in the third above how, from the circle put into the semicircle of the first above, a lune is drawn which is worth the lesser circle, and it is that which divides in half the two crescents b d, e c of the fourth demonstration.
All the aforesaid parts are each by itself equal to the half of the lesser circle, and the moon of the fourth above is worth the circle contained by it. And if the portion is worth (as proved) the half of that lesser circle, two of these portions are equal to the aforesaid lesser circle and are equal to the half of the middle circle and to the half of the portion of the greater semicircle, et cetera.

* Figure with the letters:

b p a - n o - t c S

a b is worth c, because S t, the greatest portions of the semicircle, are worth o p n.
The voids are filled with the upper greatest portions, dotted.

Propositions on Equal Lunes, Crescents and Circles

First through fifth demonstrations that lunes and crescents equal the circles they contain

Geometry

A systematic geometrical page numbering its arguments 'first' through 'fifth' on the equality of lunes, crescents and circles. Leonardo proves that when two equal surfaces of different shape partly overlap, the touching part is equal and similar while the non-touching excesses are equal but not similar; that the half of a circle equals one crescent when the semicircle is double the circle; and that where three circles are mutually tangent at one point, the lune equals the circle it contains and each half equals half that circle. A defence against an 'adversary' uses an 'intersected calculation' with numbers to show that b h equals d h. Rows of divided circles, lunes and crescent figures illustrate the propositions.

If two surfaces equal in quantity but different in figure partly overlap, the part that touches is equal and similar, while the parts that do not touch are equal but rarely similar. With circle r v equal to semicircle S r t, removing the common contact r from each leaves the two crescents S t equal to the portion v of the lesser circle.

Second: half a circle equals one crescent

If two surfaces are double in quantity, half the greater is worth the whole lesser, and if the lesser is laid on the greater the excesses equal the lesser. Since semicircle h g m is double circle g, the parts of the semicircle exceeding the circle equal that circle, so half the circle g is worth one of the two crescents h m.

Fourth: three tangent circles, lune and crescents

The three circumferences must be tangent at one same point. In the fourth figure the lune equals the circle it contains, and the two crescents b d, e c equal the same circle; removing equal parts (n f from the lune, b c from the crescents) leaves d e in both cases, so their remainders are equal.

The intersected calculation against the adversary

To prove f worth d b, d h and b h, Leonardo answers an adversary who sets d=1, b=2, h=2 with an 'intersected calculation': joining h+d gives 3 for semicircle f, and d+b also gives 3, but since h b equals h d and h=2, b=2 would make 4, which is false. Hence d b equals d h and b h are equal, a most evident equality tied back to the first and third demonstrations.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.

In alto, dalla destra, figura:

Figura:

Figura:

Figura:

Nel margine superiore:

Più a sinistra:

Figura:

A sinistra:

Figure colle lettere:

Segue la colonna sinistra con riferimento alla figura "quarta":

A destra:

* Figura colle lettere:

Above, from the right, figure:

Figure:

Figure:

Figure:

In the upper margin:

Further to the left:

Figure:

To the left:

Figures with the letters:

Continuing the left column with reference to the figure 'fourth':

To the right:

* Figure with the letters:

Propositions on Equal Lunes, Crescents and Circles

On this page

First: overlapping equal surfaces of different shape

Second: half a circle equals one crescent

Fourth: three tangent circles, lune and crescents

The intersected calculation against the adversary