Quadrature of Lunes and Circles

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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Colonna destra. Figura colle lettere:

b a - c

a b vale c e li circoli son doppi l'uno all'altro. E le due massime porzioni del massimo vagliano le 4 porzioni del minimo.

Figura colle lettere:

a b c

a vale c e la falcata a b è in sé inquadrabile. Ma levali a e rendili c, che vale a, e arai il triangolo bc, equale alla falcata ba.

Figura colle lettere:

m – ba – gc – hd – L - ie - cd

Circoli dupli l'uno all'altro in 3 gradi, m val le 8 falcate e li otto bisangoli collo (Figura) L, e 'l bisangolo massimo vale du' bisangoli secondi e vale ancora 8 bisangoli terzi. Addunque ab vale li 8 minimi bisangoli insieme col quadrangolo acuto L, o vuoi dire, vale il massimo quadrato del circolo mezzano. E 'l simile vale ab.

Figura colle lettere:

cba

a triangolo vale bc falcate, perché tanto manca al circolo massimo, quanto al circolo minimo.

Figura colle lettere:

a - cb – n - po - m

A la lunola abc si levi a, e al circolo da lei contenuto si levi le 8 porzioni piccole, e 'l rimanente della lunola bc vale il rimanente del circolo n m o p, e lo n m vale in sé li due quadrati o p.

Colonna centrale, sotto il numero 134. Figura colle lettere:

b a c

a b falcate vagliano le 4 lunole insieme col quadrato di mezzo c; e 'l quadrato c vale le 4 lunole e vale una delle due falcate a b, come è provato a suo loco; e le 4 lunole con c quadrato vagliano il massimo quadrato del penultimo circolo massimo; li quali circoli son 4, minori il doppio l'un dell'altro.

Semicerchio colle lettere:

pam – cb - hSron f - K

* abcfh vagliano le 2 lunole, perché a vale m p, cioè n m; aggiuntoli b fa la lunola nmb, e lo fh vale ...

fbach vagliano li due triangoli bo, rc, perché vagliano le due lunole n m b e p c S. Provasi dicendo : fah falcate vagliano le due porzioni o r, le quali aggiunte con b c, si fa li due triangoli b o, r c, cioè le due lunole predette. Addunque fbach vagliano il triangolo K, e 'l triangolo bifalcato a vale le 2 porzioni mp.

Figura con:

Vale il quadrato puntato.

Questa superfizie è in sé quadrabile ed è simile a questa [a] sinistra, ma ha scambiati li angoli che eran dentro, e li ha messi di fuori.

In alto dal centro a sinistra. Figura colle lettere:

c – f – an – b – r – o - pS

Io levo alla falcata fabop la. porzione a b e la rendo in c n, e resta cfnop, della quale quantità cfn è quadrata e la falcata o p è in sé inquadrabile, alla quale presterrò la porzione S r, equale alla porzione n, che è della valuta della mezza porzione a b. Fatto che io arò questo, io ritolgo essa porzione r S, togliendo via la mezza porzione massima S p; e resta il triangolo r o, equale alla falcata o p, che in sé era inquadrabile.

Figura colle lettere:

o r -p S

Concezzione.

Nulla manca a chi si rende quel che se le tolse. E con questa si prova r o essere equale allo o p.

Figura colle lettere:

b a - d c

abcd vagliano le 4 massime del circolo minore e vagliano il remosso del circolo massimo. Adunque il rimanente del circolo minimo e 'l rimanente del circolo massimo vagliano il massimo quadrato del minimo circolo.

Figura colle lettere:

n – bma – c - o

La lunola intera vale il circolo intero da lei contenuto. Leva n biangolo dalla lunola, e leva m o dal circolo contenuto. Il rimanente a b della lunola vale il rimanente c del circolo contenuto.

Figura colle lettere:

a – hb – n – gme – fd - e

abcdefgh vale il quadrato m, perché a vale n e nb è triangolo rettangolo, ed è il quarto del quadrato m. Adunque tutto il traforato vale 2 volte il quadrato m, cioè il quadrato bhdf.

Figura colle lettere:

a – hb – gc – fd - e

abcdefg h vale il massimo quadrato del circolo mezzano, e provasi per l'antecedente.

E qui si compone di 2 circoli di continua ... cioè uno ...¹.

Right column. Figure with letters:

b a – c. a b equals c, and the circles are each double the other. And the two largest portions of the largest circle equal the 4 portions of the smallest.

Figure with letters:

a b c. a equals c, and the lune a b is in itself squarable. But take away a and give back c, which equals a, and you will have the triangle bc, equal to the lune ba.

Figure with letters:

m – ba – gc – hd – L – ie – cd. Circles doubling one another in 3 degrees; m equals the 8 lunes and the eight bi-angles together with the figure L, and the largest bi-angle equals two second bi-angles and also equals 8 third bi-angles. Therefore ab equals the 8 smallest bi-angles together with the acute quadrangle L, or, if you prefer, it equals the largest square of the middle circle. And ab equals the same.

Figure with letters:

c b a. The triangle a equals the lunes bc, because as much is missing from the largest circle as from the smallest circle.

Figure with letters:

a – cb – n – po – m. From the lune abc take away a, and from the circle it contains take away the 8 small portions; the remainder of the lune bc equals the remainder of the circle n m o p, and n m equals in itself the two squares o p.

Central column, beneath the number 134. Figure with letters:

b a c. The lunes a b equal the 4 small lunes together with the middle square c; and the square c equals the 4 small lunes and equals one of the two lunes a b, as is proved in its place; and the 4 small lunes with the square c equal the largest square of the second-to-last largest circle; which circles are 4, each smaller by half than the next.

Semicircle with letters:

pam – cb – hSron f – K. abcfh equal the 2 small lunes, because a equals m p, that is n m; adding b makes the small lune nmb, and fh equals ... fbach equal the two triangles bo, rc, because they equal the two small lunes n m b and p c S. It is proved by saying: the lunes fah equal the two portions o r, which, added to b c, make the two triangles b o, r c, that is the two aforesaid small lunes. Therefore fbach equal the triangle K, and the double-luned triangle a equals the 2 portions mp.

Figure with:

It equals the dotted square. This surface is squarable in itself and is similar to the one on the left, but it has exchanged the angles that were inside and has put them outside.

Upper part, from the centre to the left. Figure with letters:

c – f – an – b – r – o – pS. I take from the lune fabop the portion a b and turn it into c n, and there remains cfnop, of which quantity cfn is squared and the lune o p is squarable in itself; to it I will lend the portion S r, equal to the portion n, which is of the value of the half-portion a b. Once I have done this, I take back that portion r S, removing the largest half-portion S p; and there remains the triangle r o, equal to the lune o p, which in itself was squarable.

Figure with letters:

o r – p S. Axiom. Nothing is lacking to him who is given back what was taken from him. And by this it is proved that r o is equal to o p.

Figure with letters:

b a – d c. abcd equal the 4 largest portions of the smaller circle and equal what was removed from the largest circle. Therefore the remainder of the smallest circle and the remainder of the largest circle equal the largest square of the smallest circle.

Figure with letters:

n – bma – c – o. The whole small lune equals the whole circle it contains. Take the bi-angle n from the lune, and take m o from the contained circle. The remainder a b of the lune equals the remainder c of the contained circle.

Figure with letters:

a – hb – n – gme – fd – e. abcdefgh equals the square m, because a equals n and nb is a right triangle, and it is a quarter of the square m. Therefore the whole perforated figure equals 2 times the square m, that is the square bhdf.

Figure with letters:

a – hb – gc – fd – e. abcdefgh equals the largest square of the middle circle, and it is proved by the preceding. And here it is composed of 2 circles of continuous ... that is one ....

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.

Colonna destra. Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Colonna centrale, sotto il numero 134. Figura colle lettere:

Semicerchio colle lettere:

Figura con:

In alto dal centro a sinistra. Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Figura colle lettere:

Right column. Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Central column, beneath the number 134. Figure with letters:

Semicircle with letters:

Figure with:

Upper part, from the centre to the left. Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Figure with letters:

Quadrature of Lunes and Circles

On this page

A lune reduced to a triangle

The axiom of restitution

A perforated figure equal to twice a square

A lune equal to the circle it contains