Circular Portions in Sixteen Sectors, and Their Squaring

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© Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milan

Porzione formata dal semicerchio:

Prima -Prima porzione.
Questa prima porzione e termine di ciascun
settore.

Cerchio diviso in 16 settori:

Seconda - m - c - d o a
A questa seconda porzione manca il settore a c d, che è diviso in nel settore vero ocd coll'aggiunta a o c.

Semicerchio con:

Terza - n - o

Semicerchio con:

Quarta – f - P
A questa terza porzione ovver settore equale alla prima e alla seconda detta superfizie …1 … i' trarrò o, triangolo minore, di p, triangolo maggiore, e 'l rimanente di p triangolo sarà equale alla parte in che la porzione n supera la porzione f, e fia quadrato. Onde i' porrò la porzione minore f sopra la porzione maggiore n, e 'l rimanente del f sarà equale all'eccesso de li triangoli spiccati da dette porzioni. Ma perché esse porzioni non son integralmente colla lor naturale figura capace di ricevere l'una l'altra integralmente, i' m'aiuterò colla quinta, cioè col prestare superfizie nota, se si potrà, o trarre in pezzi l'una dell'altra, come insegna la terza.

Presso il margine, figura con:

c b

b è maggiore di c, ma non so quanto.

Porzione con frammenti entro e fuori:

Rimanenti della minore. I' levo li triangoli.

Semicerchio colle lettere:

m d a c - b - o n

Per dare un settore equale a qualunque data porzione.
a c, parte di porzione, è pari al b d; e questo è perché c d son posti equali ed equali son li triangoli a b a esse porzioni c d congiunte. Ma perché io vorrei dare un settore equale a una porzione, la quale sarà a c, tirando la corda n m e' mancherebbe al triangolo b tutta la parte della porzione d che li togliessi c a, onde io [g]liele darò e renderò al triangolo b tanto di porzion d'un cerchio maggiore che sarà equale alla porzione c a d. Ma e' bisogna che b non diminuisca di quantità, ma di figura. Si po per la settima variare quanto ti piace e così arò fatto la porzione c a d equale al settore n m o. Ma tu t'hai a ricordare che, essendo c a equale al b d e togliendo la metà della porzione d al b e giugnendola al c a, che el triangolo a è accompagnato da una porzione c e da una mezza porzione d; onde restando il triangolo b con una mezza porzione, egli è necessario che tu li aggiunga una porzione intera o la sua valuta.

Portion formed by the semicircle:

First - first portion. This first portion is the terminus of each sector.

Circle divided into 16 sectors:

Second - m - c - d o a. This second portion lacks the sector a c d, which is divided into the true sector o c d with the addition a o c.

Semicircle with:

Third - n - o

Semicircle with:

Fourth - f - P. To this third portion, or sector, equal to the first and to the second said surface ... I will draw o, the smaller triangle, from p, the larger triangle, and the remainder of the triangle p will be equal to the part by which the portion n exceeds the portion f, and it will be a square. Whence I will set the smaller portion f upon the greater portion n, and the remainder of f will be equal to the excess of the triangles detached from the said portions. But because these portions are not, in their natural figure, wholly capable of receiving one another entirely, I will help myself with the fifth (method), that is, by lending a known surface if it can be done, or by drawing one from the other in pieces, as the third teaches.

Near the margin, a figure with:

c b. b is greater than c, but I do not know by how much.

Portion with fragments within and without:

Remainders of the lesser. I remove the triangles.

Semicircle with the letters:

m d a c - b - o n. To give a sector equal to any given portion. a c, part of a portion, is equal to b d; and this is because c d are set equal, and the triangles a b joined to those portions c d are equal. But because I would wish to give a sector equal to a portion, which will be a c, in drawing the chord n m there would be lacking to the triangle b the whole part of the portion d that c a took from it; whence I will give and render to the triangle b as much of a portion of a larger circle as will be equal to the portion c a d. But it is necessary that b not diminish in quantity, but in figure. One may, by the seventh, vary it as much as you please, and thus I shall have made the portion c a d equal to the sector n m o. But you must remember that, since c a is equal to b d, and taking away half of the portion d from b and joining it to c a, the triangle a is accompanied by a portion c and by half a portion d; whence, the triangle b remaining with half a portion, it is necessary that you add to it a whole portion or its value.

Reader's Edition — described with AI from the e-Leo transcription.

Porzione formata dal semicerchio:

Cerchio diviso in 16 settori:

Semicerchio con:

Semicerchio con:

Presso il margine, figura con:

Porzione con frammenti entro e fuori:

Semicerchio colle lettere:

Portion formed by the semicircle:

Circle divided into 16 sectors:

Semicircle with:

Semicircle with:

Near the margin, a figure with:

Portion with fragments within and without:

Semicircle with the letters:

Circular Portions in Sixteen Sectors, and Their Squaring

On this page

The first portion, terminus of each sector

Circle divided into sixteen sectors

Fourth portion: making portions receive one another

To give a sector equal to any given portion